定义和概念
设 (X, τ) 是一个拓扑空间。 如果对于X的任何开覆盖，都存在一个开覆盖 ℬ,使得 ℬ 是 的一个点有限的细化，那么X被称为紧致的。 这里，“细化”是指ℬ的每个元素都是 的某个元素的子集。 “点有限”指的是对于X中的任何点x，都至多存在有限个 ℬ 中的元素包含x。
与紧致性的关系
紧致性是拓扑空间的一个重要性质，与紧致性有着密切的关系。 紧致性是比紧致性更弱的性质。这意味着，所有紧致空间都是紧致空间，但反之则不然。在很多情况下，紧致性可以用来简化对拓扑空间的分析。
紧致性与紧致性之间的一个关键区别在于，紧致性关注的是对开覆盖的局部性质的控制，而紧致性关注的是对开覆盖的整体性质的控制。紧致性要求任何开覆盖都必须有一个点有限的开细化，而紧致性则要求每个开覆盖都必须有一个有限的子覆盖。
性质
紧致空间具有一些重要的性质。例如，紧致空间总是正规空间。这意味着，对于空间中的任何两个不相交的闭合集，都存在两个不相交的开集，分别包含这两个闭合集。 此外，紧致性在连续映射下是可保持的，也就是说，如果一个空间是紧致的，那么它的连续像也是紧致的。这意味着，紧致性是拓扑不变性。
紧致性在函数理论中也有重要的应用。 例如，紧致空间上的连续实值函数是有界的，并且在空间上达到其上确界和下确界。 这为分析和优化问题提供了有用的工具。
应用
紧致性在数学的多个领域都有应用，尤其是在函数分析和泛函分析中。 例如，在证明某些泛函空间的性质时，紧致性被广泛使用。 此外，紧致性还与非线性泛函分析中的不动点定理有关，在证明某些非线性方程的解的存在性时，紧致性是至关重要的。
紧致性的概念也有助于研究某些几何结构和拓扑结构，例如流形。紧致性可以用来研究流形的性质，例如流形是否是紧致的，以及流形的边界情况。
结论
紧致空间是拓扑学中一个重要的概念，它提供了一种分析和理解拓扑空间的方法。紧致性是一种比紧致性弱的性质，但它仍然具有许多重要的性质和应用。 从基础的拓扑学到高级的函数分析，紧致性都发挥着关键的作用，并为我们提供了理解和解决数学问题的有力工具。