模型定义
正方格Ising模型在一个二维正方格上定义，每个格点上都存在一个自旋，该自旋可以取两个值：+1或-1，分别代表“向上”或“向下”的自旋方向。相邻的自旋之间存在相互作用，其能量由以下公式定义：
E = -J Σ<i,j> Si Sj – h Σi Si
其中：
- J是交换相互作用常数，控制相邻自旋之间的相互作用强度；J > 0 表示铁磁性相互作用（自旋倾向于平行排列），J < 0 表示反铁磁性相互作用（自旋倾向于反平行排列）。
- Si 和 Sj 分别是格点i和j上的自旋值（+1或-1）。
- Σ<i,j> 表示对相邻自旋对求和。
- h是外磁场，影响自旋的总体取向。
- Σi 表示对所有格点上的自旋求和。
相变
正方格Ising模型的一个重要特征是它在无外磁场（h=0）下表现出相变。当温度低于临界温度Tc时，系统进入铁磁相，即自旋倾向于一致排列，表现出宏观磁化强度。当温度高于临界温度时，系统进入顺磁相，自旋的排列是随机的，没有宏观磁化强度。
临界温度Tc的精确解由Lars Onsager在1944年首次求得，为Tc = 2.269 J/kB，其中kB是玻尔兹曼常数。Onsager的解显示，在临界温度附近，模型的物理量（如磁化率和比热）会出现奇异性，这是相变的典型特征。
应用
尽管Ising模型是一个简化的模型，它却在理解许多物理现象中起着重要作用。其主要应用包括：
- 铁磁性材料：理解铁磁性材料的磁性行为，如磁化率、居里温度等。
- 相变研究：研究系统在临界点附近的物理性质，如临界指数等。
- 复杂系统模拟：作为研究更复杂系统行为的基础模型。
该模型在计算机模拟和理论物理学研究中广泛使用。
计算方法
对于二维Ising模型，已经发展了多种计算方法，包括：
- Onsager解：提供临界温度等精确解。
- 蒙特卡罗模拟：通过计算机模拟研究系统的统计性质。
- 平均场理论：提供对系统行为的近似描述。
结论
正方格Ising模型是统计力学中一个重要的模型，为理解相变和磁性现象提供了基础。它虽然简单，但展现了复杂系统的关键特征，并推动了统计物理学的发展。通过对该模型的研究，人们对物质的宏观性质与微观相互作用之间的关系有了更深入的理解。