定义
设 κ 是一个可测基数，即存在一个非平凡的 κ-完备超滤子 U。设 A 是 κ 的一个子集，则 A 在 U 中，如果且仅如果，{α < κ : α ∈ A} ∈ U。设 f : κ → κ，则 f 在 U 中是“几乎处处”常数，如果存在一个 c < κ，使得 {α < κ : f(α) = c} ∈ U。正规测度定义了可测基数上的一个超滤子，满足特定的正则性条件。
性质
正规测度拥有一些重要的性质。首先，它们是 κ-完备的，这意味着如果一个集合的基数小于 κ，那么它不会属于超滤子。其次，正规测度是正则的，这确保了在超滤子中具有“良好”的性质。例如，对于任何函数 f : κ → κ，如果 f 在正规测度下不是几乎处处为 0，那么存在一个 α < κ，使得 f(α) > 0。正规测度也与反射原理密切相关，这表明，对于正规测度，某些在整个 κ 上成立的性质也“反射”到较小的序数上。
应用
正规测度在集合论中有着重要的应用。它们是证明大基数的存在性的关键工具，例如，如果存在一个带有正规测度的基数，那么它必须是一个弱紧基数。正规测度还用于研究集合论模型的性质，特别是在研究内模型理论时。它们提供了衡量集合论中复杂性的工具，并用于研究选择公理和其他公理之间的关系。此外，正规测度也与序数理论以及模型理论相关。例如，它们被用来构建特殊的模型，并在模型理论的某些领域中产生有趣的结果。
例子
一个重要的例子是，设 κ 为第一个不可达基数。那么，存在一个在 κ 上的正规测度。另一个例子是，设 V 是一个集合论模型，M 是一个 V 的子模型，并且 M 满足一些性质。如果在 M 中，存在一个可测基数 κ，那么，正规测度可以用于描述 M 中集合的性质。
结论
正规测度是集合论中一个重要的概念，它提供了研究大基数和集合论模型的重要工具。它们具有特殊的性质，并与许多重要的集合论结果相关。通过研究正规测度的性质，我们能够更深入地理解集合论的结构和性质。