基本概念
首先，我们需要了解一些基本概念。特征标是一个群表示的函数，它将群的每个元素映射到一个复数，这个复数是该元素在表示下的矩阵的迹。不可约表示是不能被分解成更小的表示的表示。紧李群是一类重要的群，它们具有有限体积，并且其表示理论有着良好的性质。
外尔特征标公式的陈述
外尔特征标公式给出了一个计算紧李群不可约表示的特征标的公式。它通常用根系和权向量来表示。具体来说，如果 G 是一个紧李群，T 是 G 的一个极大环面，λ 是 G 的一个不可约表示的最高权，则该表示在 T 上的特征标可以表示为：
χλ(t) = Σw∈W ε(w) ew(λ+ρ)(log t) / Σw∈W ε(w) ew(ρ)(log t)
其中：
- χλ(t) 是 λ 对应的特征标。
- t 是 T 中的一个元素。
- W 是 G 的外尔群。
- ε(w) 是外尔群元素 w 的符号 (sign)。
- ρ 是半权 (half-sum of positive roots)。
外尔特征标公式提供了一种计算不可约表示特征标的系统方法，这些特征标在研究群表示的结构和性质时至关重要。
公式的应用
外尔特征标公式在多个领域都有应用：
- 群表示理论：用于研究紧李群的不可约表示的性质，例如计算其维度和特征标。
- 数学物理：在量子场论和统计力学中，用于分析对称性和计算物理量。
- 几何学：在研究对称空间和纤维丛时，外尔特征标公式可以用来计算某些函数的积分。
通过特征标，我们可以获得关于表示的重要信息，例如，特征标的正交性可以用于分解复杂的表示。外尔特征标公式是这些分析的核心工具。
外尔特征标公式的推导
外尔特征标公式的推导通常涉及紧李群的结构理论，特别是李代数、根系和权向量。其证明使用了紧李群的积分公式，即外尔积分公式。这个公式将群上的积分转化为在极大环面上的积分。通过应用外尔积分公式，可以得到特征标的表达式。
结论
外尔特征标公式是表示理论中的一个基本工具，它提供了计算紧李群不可约表示特征标的明确方法。这个公式在多个数学和物理领域都有广泛的应用，对于理解群表示的结构和性质至关重要。 外尔特征标公式的重要性体现在它能够将复杂的群表示问题简化为线性代数问题，使得我们可以更容易地研究和理解这些表示。