坐标定义
抛物柱坐标系 (ξ, η, z) 通过以下方式与笛卡尔坐标系 (x, y, z) 相关联：
x = ξη
y = (1/2)(η² – ξ²)
z = z
其中，ξ 和 η 分别表示两个正交的抛物线坐标，而 z 坐标保持不变。
几何意义
在抛物柱坐标系中，常数 ξ 的曲面由一系列焦点在原点且对称于 x 轴的抛物线构成。常数 η 的曲面同样也是抛物线，但它们对称于 y 轴。这些抛物线互相正交。 z 坐标的等值面是一组平行于 xy 平面的平面。
抛物柱坐标系统特别适合解决具有抛物对称性的问题。 例如，在电磁学中，它可以用于分析抛物柱形电极产生的电场。
度量系数
抛物柱坐标的度量系数为：
hξ = hη = √(ξ² + η²)
hz = 1
应用
抛物柱坐标在多个领域都有应用，包括：
- 流体力学： 描述某些类型的流动。
- 电磁学： 分析抛物柱形电极的电场分布。
- 偏微分方程： 简化具有抛物线边界条件的偏微分方程的求解。
示例
例如，对于在抛物柱坐标系中给定的点 (ξ, η, z)，笛卡尔坐标可以通过上述转换公式计算。反过来，笛卡尔坐标也可以转换为抛物柱坐标，但需要解决二次方程。
结论
抛物柱坐标是一种有用的坐标系，特别适用于解决具有抛物对称性的问题。 它提供了一种不同的视角来分析物理问题，并简化了某些复杂问题的求解过程。