坐标定义
椭圆柱坐标 (ξ, η, z) 由以下定义：
- x = a cosh ξ cos η
- y = a sinh ξ sin η
- z = z
其中，a 是一个常数，表示椭圆的半焦距。ξ (希腊字母 xi) 和 η (希腊字母 eta) 分别是椭圆坐标系中的径向坐标和角度坐标，z 坐标保持不变。ξ 的范围是 [0, ∞)，η 的范围是 [0, 2π)，z 的范围是 (-∞, ∞)。
坐标面的几何意义
在椭圆柱坐标系中，坐标面具有如下几何意义：
- ξ = 常数: 对应的坐标面是共焦椭圆柱面。这些柱面的截面是焦点为 (±a, 0) 的一系列椭圆。随着 ξ 的增大，椭圆的尺寸也增大。
- η = 常数: 对应的坐标面是共焦双曲柱面。这些柱面的截面是焦点为 (±a, 0) 的一系列双曲线。η 的值决定了双曲线的渐近线的方向。
- z = 常数: 对应的坐标面是平面，与 z 轴垂直。
坐标变换
从直角坐标系 (x, y, z) 到椭圆柱坐标系 (ξ, η, z) 的变换可以通过上述定义导出。反变换，即从椭圆柱坐标系到直角坐标系的变换，同样可以通过求解上述方程得到。这些变换对于在不同坐标系中解决物理问题至关重要。
应用
椭圆柱坐标系在解决各种物理问题中发挥着重要作用，主要体现在具有椭圆柱对称性的问题中，例如：
- 电磁学: 在分析带电导体的电场分布，特别是当导体具有椭圆柱形时。
- 流体力学: 在研究流体绕椭圆柱体的流动时。
- 弹性力学: 在分析具有椭圆柱形截面的结构体的应力分布时。
由于其能够更好地匹配问题的边界条件，椭圆柱坐标系常常简化了计算过程。
总结
椭圆柱坐标系是一种强大的三维正交坐标系，它特别适用于解决具有椭圆柱对称性的问题。 通过将二维椭圆坐标系沿 z 轴延伸，椭圆柱坐标系提供了一种方便的工具，用于描述空间中的几何形状， 并简化了相关物理量的计算。 对椭圆柱坐标系的深入理解，有助于研究者更好地解决涉及椭圆柱形对称性的物理学和工程学问题。