定义与构造
普吕姆簇的构造始于一个光滑的代数曲线 C，以及一个从 C 到另一条曲线 C’ 的双重覆盖。这种覆盖结构意味着对于 C’ 上的每一个点，在 C 上都有两个点与之对应（除了有限个分支点）。设 j: C → C’ 是一个双重覆盖，那么可以将 C 的雅可比簇定义为 J(C)，C’ 的雅可比簇定义为 J(C’)。普吕姆簇 Pr(C, C’) 定义为 J(C) 中由 j*（j*是 j 的拉回）的核的连通分量。
与雅可比簇的关系
普吕姆簇和雅可比簇之间存在紧密的联系。特别是，普吕姆簇可以被视为雅可比簇的一个子簇。这种关系为研究曲线的几何性质提供了强大的工具。普吕姆簇的维度与曲线的亏格有关，这使得我们可以通过分析普吕姆簇的结构来推断关于原始曲线的信息。
应用
普吕姆簇在代数几何的多个分支中都有应用，包括：
- 研究代数曲线的模空间： 普吕姆簇提供了一种研究代数曲线的模空间的工具。
- 研究阿贝尔簇： 普吕姆簇是阿贝尔簇的一个重要例子，它们可以用来构造新的阿贝尔簇。
- 研究积分系统： 普吕姆簇与某些可积系统有关，为研究这些系统提供了几何解释。
普吕姆簇的研究有助于理解代数簇的整体结构，以及它们之间的相互作用。
几何性质
普吕姆簇具有丰富的几何性质。它们通常是极化阿贝尔簇，并且具有复杂的自同构群。普吕姆簇的维度取决于原始曲线的亏格以及覆盖结构的类型。研究这些性质有助于我们更好地理解普吕姆簇的几何结构和在相关数学问题中的应用。
结论
普吕姆簇是代数几何中一个重要的概念，它为研究代数曲线的几何性质提供了有力的工具。通过将曲线与它们的雅可比簇和覆盖结构联系起来，普吕姆簇揭示了曲线之间深刻的联系，并为代数几何的研究提供了新的视角。普吕姆簇在模空间理论、阿贝尔簇理论以及积分系统等领域都有广泛的应用，是数学研究的重要组成部分。