定义与性质
一个图被称为双连通的，当且仅当它满足以下条件：
- 图是连通的。
- 对于图中的任何顶点 v，移除 v 后，图仍然是连通的。
换句话说，双连通图不包含割点（articulation point）。割点是指移除后会增加图的连通分量的顶点。 双连通图的边连通度至少为 2，这意味着必须移除至少两条边才能断开图。
重要性与应用
双连通图在许多实际应用中都非常重要。
- 网络设计： 在网络设计中，双连通性确保即使一个节点或链路发生故障，网络仍然可以正常运行。例如，电话网络、互联网和电力网络通常被设计为双连通或更高连通度的网络，以确保可靠性。
- VLSI 设计： 在超大规模集成电路（VLSI）设计中，双连通图用于检测和修复电路中的短路或断路，保证电路的可靠性。
- 计算机科学： 双连通图也用于寻找图中的桥（bridge），桥是指移除后会增加图的连通分量的边。
如何判断双连通性
判断一个图是否是双连通的，可以使用不同的算法。一种常用的方法是使用深度优先搜索 (DFS)。
基本思路：在DFS的过程中，跟踪每个顶点的发现时间和“回溯值 (lowlink)”。如果一个顶点v的lowlink值大于其父节点u的发现时间，则边 (u,v) 是一个桥，所以此图不是双连通的。
算法示例
举例来说，考虑一个无向图 G。我们进行深度优先搜索，并标记每个顶点的发现时间和回溯值。当遍历到某个顶点时，如果它的回溯值小于或等于其父节点的发现时间，则该顶点不是割点；否则，该顶点是割点。 如果在 DFS 的过程中没有找到割点，则该图是双连通的。
结论
双连通图是图论中一个重要的概念，具有重要的理论意义和实际应用价值。 它们在网络设计、计算机科学和许多其他领域中都扮演着关键角色。 理解双连通图的定义、性质和识别方法，有助于设计更可靠、更健壮的系统。