定义与表述
德根八平方恒等式表明，如果两个数x和y都可以写成八个平方数的和，即：
x = a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆² + a₇² + a₈²
y = b₁² + b₂² + b₃² + b₄² + b₅² + b₆² + b₇² + b₈²
那么它们的乘积xy也可以表示成八个平方数的和。
历史背景
这个恒等式是以德国数学家彼得·德根的名字命名的，他于1818年发现了这个恒等式。在此之前，欧拉证明了四平方和恒等式，而德根的研究是对欧拉工作的扩展。值得注意的是，德根八平方恒等式是仅有的几个能够保证平方和形式的乘积仍然是平方和的恒等式之一（分别对应1、2、4、8个平方数）。
恒等式详解
具体来说，德根八平方恒等式给出了一个公式，用以计算两个八平方和的乘积。这个公式涉及到了两个八元数（类似于复数的概念），它们的乘积仍然可以写成八个实数的平方和。公式虽然复杂，但其关键在于它展示了八平方和乘积的结构。
一个通用的形式是：
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆² + a₇² + a₈²) * (b₁² + b₂² + b₃² + b₄² + b₅² + b₆² + b₇² + b₈²) = c₁² + c₂² + c₃² + c₄² + c₅² + c₆² + c₇² + c₈²
其中，c₁, c₂, …, c₈是a₁, a₂, …, a₈和b₁, b₂, …, b₈的线性组合。这种线性组合确保了乘积仍然是八个平方数的和，体现了其数学上的特殊性。
与四平方和恒等式的比较
德根八平方恒等式与欧拉的四平方和恒等式有很多相似之处。两者都揭示了平方和乘积的性质，但德根八平方恒等式涉及的维度更高。四平方和恒等式在数论中同样重要，它解决了整数可以表示为四个平方和的问题。两者都展示了平方和分解的深刻性质，对数论和代数领域产生了重要影响。
应用和意义
德根八平方恒等式在数学领域，特别是在代数和数论中具有重要的理论意义。它为研究平方和分解提供了有力的工具。此外，它也与高维空间的几何学和物理学中的某些问题相关联，例如与八元数有关的代数结构的研究。
结论
德根八平方恒等式是一个揭示八平方和乘积性质的重要数学结果。它表明了，两个八平方和的乘积仍然可以表示为八个平方数的和。这个恒等式与欧拉的四平方和恒等式一起，为我们理解平方和的结构提供了深刻的见解，对代数和数论的研究具有重要意义。