定义与基本概念
设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。如果存在一个群的自同态 r: G -> H，使得对于所有 h ∈ H，都有 r(h) = h，那么 H 就是 G 的一个收缩。换句话说，r 在 H 上的限制是恒等映射，即 r|H = idH。自同态 r 也被称为一个收缩。
一个收缩的存在意味着 G 的一部分“可以被拉回到” H 中，并且在 H 中保持其结构。这为我们提供了关于群 G 和其子群 H 之间关系的深刻见解。
性质和应用
收缩的概念在群论中具有重要的理论意义。一个群的收缩子群具有一些有趣的性质，例如：
- 保持性质：如果群 G 中的子群 H 是收缩，那么 H 继承了 G 的某些性质，例如可解性或有限性。
- 构造：收缩的概念可以用来构造新的群。例如，如果 G 包含一个收缩子群 H，那么可以利用 H 来研究 G 的结构。
- 分类：在某些特定的群类中，收缩子群可以用于群的分类。
收缩的概念还与许多其他群论概念相关，例如直积、半直积和扩张。了解收缩子群有助于我们更好地理解群的结构，以及它们之间的关系。
例子
以下是一些群收缩的例子：
- 平凡子群：对于任何群 G，其单位元构成的平凡子群 {e} 都是 G 的收缩，因为存在一个自同态将 G 中所有元素映射到单位元。
- 直积：如果 G 是两个群 H 和 K 的直积，即 G = H × K，那么 H 和 K 都是 G 的收缩。
- 循环群：考虑循环群 Cn，其中 n 是一个正整数。它的任何子群 Cm，其中 m 是 n 的一个因子，都是 Cn 的收缩。
结论
收缩是群论中一个重要的概念，它提供了关于群与其子群之间关系的深刻见解。通过研究收缩子群，我们可以更好地理解群的结构和性质。收缩的概念在群论的许多领域都有应用，包括群的分类和构造。