定义与基本概念
一个群G被称为FC-群，如果对于G中的每一个元素x，其共轭类C(x) = { gxg⁻¹ | g ∈ G } 都是有限的。这意味着，对于G中的任意一个元素x，都存在有限个元素与x共轭。理解FC-群的关键在于共轭类的概念。共轭类描述了群中所有可以通过群运算互相变换的元素。有限共轭类的存在意味着这些元素在某种程度上具有相似的性质。
重要性质
FC-群具有一些重要的性质：
- 阿贝尔子群：如果G是FC-群，那么G的中心 Z(G) 是一个阿贝尔群。
- 有限阶子群：一个FC-群的有限阶子群的结构受到很大限制。
- 子群和商群：FC-群的子群和商群也都是FC-群。
这些性质使得FC-群的研究在群论中具有重要的地位。例如，FC-群的结构与群的中心、阿贝尔子群等密切相关，这为我们研究群的结构提供了有力的工具。
例子
典型的FC-群包括：
- 有限群：所有的有限群都是FC-群，因为有限群中任何元素的共轭类必然是有限的。
- 阿贝尔群：阿贝尔群的每个元素的共轭类都只包含元素本身，因此它们也是FC-群。
- 有限生成的nilpotent群：有限生成的nilpotent群也是FC-群。
- 有限生成的几乎阿贝尔群：有限生成的几乎阿贝尔群也是FC-群。
另一方面，非阿贝尔无限群并不一定是FC-群。例如，自由群就不是FC-群。理解这些例子有助于我们区分FC-群和非FC-群的特点。
应用
FC-群在群论中有很多应用。它们在研究群的结构，尤其是无限群的结构时，提供了一个重要的视角。它们也被用来研究某些特定类型的群，例如，研究满足一定条件的无限群的性质。研究FC-群有助于我们更深入地理解群的性质，以及群之间的关系。
结论
FC-群作为群论中一个重要的概念，为我们研究群的结构提供了有力的工具。 它们在有限群、阿贝尔群以及其他一些特殊类型的群中表现出重要的性质。 通过研究FC-群，我们可以更深入地理解群的本质，并在数学的其他领域中找到应用。