严格单群的定义
一个群G被称为严格单群，需满足以下两个条件：首先，G是一个简单群。其次，G没有任何真非平凡升链子群。这意味着G的任何子群链都必须在有限步内终止，或者在第一步就终止。严格单群的概念比简单群更强，它排除了某些类型的非平凡子群结构。
与简单群的区别
简单群的定义强调的是不存在真正规子群。而严格单群在简单群的基础上，又增加了对子群结构的限制。简单群只要求没有真正规子群，允许存在非正规的子群。严格单群进一步要求不存在真非平凡升链子群，即任何非平凡子群的升链都必须在有限步内终止。简单群是严格单群的必要不充分条件。
严格单群的例子
有限群中，交错群 An (n ≥ 5) 是严格单群。这意味着对于n大于等于5的整数n，交错群An是简单群，并且不存在真非平凡升链子群。另一个例子是有限域上的特殊线性群 PSL(2, q)，其中q是一个素数幂，且 q > 3。这些群在群论的研究中起着重要作用。
升链子群的概念
一个子群链，也称为升链子群，是一个子群的序列，其中每个子群都是其后继子群的子群。形式上，一个子群链可以表示为：H1 < H2 < H3 < … < Hk，其中 H1, H2, … Hk 都是群 G 的子群，并且对于所有的 i < k，有 Hi < Hi+1。如果一个子群链中的每个子群都是其后继子群的真子群，则称为真升链。 如果一个升链中存在一个非平凡子群(不只是单位元)，则称该升链为非平凡升链。严格单群不包含任何真非平凡升链子群。
应用和意义
严格单群的研究有助于分类和理解群的结构。对严格单群的了解可以帮助数学家们更好地理解群的性质和分类，尤其是在有限群分类定理中，严格单群作为构建块发挥着关键作用。同时，在抽象代数和相关领域，对严格单群的研究也具有重要的理论意义。
结论
严格单群是群论中一个重要的概念，它比简单群具有更强的性质。严格单群的研究有助于深入理解群的结构，并在有限群的分类中发挥重要作用。对严格单群的进一步研究将有助于揭示更多关于群论的奥秘。