定义
设 X 是一个集合。 X 上的粗结构是一个集合 ℰ，其中的元素是 X × X 的子集，这些子集被称为边，且满足以下条件：
- 自反性：对角线 Δ = {(x, x) : x ∈ X} 属于 ℰ。
- 传递性：如果 E 属于 ℰ，那么它的逆 E⁻¹ = {(y, x) : (x, y) ∈ E} 也属于 ℰ。
- 组合性：如果 E 和 F 都属于 ℰ，那么 E ∘ F = {(x, z) : 存在 y ∈ X，使得 (x, y) ∈ E 且 (y, z) ∈ F} 也属于 ℰ。
基本概念
在粗结构 ℰ 的上下文中，定义了以下概念：
有界集: 对于 E ∈ ℰ，一个集合 A ⊆ X 被称为 E-有界的，如果 E[A] = {y : 存在 x ∈ A 使得 (x, y) ∈ E} 是有界的。粗结构中的有界集概念与拓扑学中的有界集概念有所不同，它更关注“接近性”而非“距离”。
准等距映射: 如果 X 和 Y 是两个带有粗结构的集合，一个映射 f: X → Y 被称为准等距映射，如果存在 E ∈ ℰX 和 F ∈ ℰY，使得 (f × f)(E) ⊆ F 且 (f × f)(E) ⊇ F，其中 ℰX 和 ℰY 分别是 X 和 Y 上的粗结构。
粗等价: 如果两个带有粗结构的集合之间存在准等距映射，那么它们就被称为粗等价的。粗等价的概念捕捉了集合在大尺度上的相似性，忽略了局部细节。
例子
考虑实数集 ℝ，可以使用不同的粗结构来定义“接近性”。
离散粗结构: ℰ = {E ⊆ ℝ × ℝ : E 是有界的}。在这种情况下，两个点之间的“距离”被限制在一个有限的范围内。这个粗结构捕获了实数集上的离散性。
标准粗结构: ℰ = {E ⊆ ℝ × ℝ : 存在 M > 0，使得 |x – y| ≤ M 对所有 (x, y) ∈ E 成立}。这个粗结构描述了实数集上的标准度量结构。这意味着如果 (x, y) ∈ E，那么 x 和 y 之间的距离是有界的。
应用
粗结构在多个数学领域中都有应用，特别是在以下几个方面：
- 几何群论： 粗结构被用于研究群的几何性质，特别是在研究群的“形状”和“大小”时。
- 拓扑学： 粗结构可以被用来研究度量空间或更一般的空间。
- 泛函分析： 粗结构在研究 Banach 空间和 Hilbert 空间等结构时也扮演着重要的角色。
结论
粗结构提供了一种强大的工具，用于研究集合之间的大尺度结构，特别是那些在传统度量空间中难以描述的结构。通过定义粗等价等概念，粗结构能够捕捉集合的“相似性”，从而为解决几何、拓扑和群论中的问题提供了有力的工具。