定义与基本概念
一个摩尔图定义为具有以下性质的图：
- 正则性： 图中每个顶点的度数都相同，都等于某个常数 d （度）。
- 直径： 图中任意两个顶点之间的最长最短路径的长度，记为 k。
- 围长： 图中所有环的最短长度，记为 g。
一个摩尔图必须满足条件：g > 2k。换句话说，摩尔图的“胖瘦”程度受到限制，其最短环的长度相对于其直径来说要大得多。
摩尔图的性质与限制
由于摩尔图的严格定义，满足此条件的图非常少。事实上，对于给定的度 d 和直径 k，存在一个理论上的顶点的上限，称为摩尔界。如果一个图的顶点数达到了摩尔界，那么它就是一个摩尔图。
例如，当度 d = 2 时，唯一的摩尔图是环，当度 d = 3 时，只有围长为 3,4,5 的摩尔图。其中围长为 3 的摩尔图是完全图 K4。围长为 4 的是 Petersen 图，围长为 5 的是格雷图 (Gray graph)。当度数变得更大时，找到满足条件的图就变得更加困难。
摩尔图的实际应用
尽管摩尔图在实践中相对罕见，但它们在理论计算机科学和通信网络设计中具有一定的应用价值。由于摩尔图的结构良好，具有高度的对称性，因此它们在设计具有良好连通性和容错性的网络时可能有所帮助。例如，在某些特定情况下，摩尔图可以用于构建高效的计算机网络拓扑。
摩尔图的难题
寻找摩尔图，特别是具有较大直径的摩尔图，是一个困难的问题。已知摩尔图的数量非常少，而且对于某些参数组合，甚至不存在摩尔图。研究人员仍在不断努力寻找新的摩尔图，并探索其性质。这涉及到复杂的数学推导和计算模拟。
结论
摩尔图是一种特殊的正则图，由于其特殊的结构，其存在受到了严格的限制。尽管如此，摩尔图的研究在图论领域具有重要意义，并可能在某些领域有实际应用。寻找新的摩尔图以及探索其性质，仍然是图论研究中的一个活跃领域。