定义与性质
一个拓扑空间 X 是完全不连通的，如果对于 X 中的任意两个不同的点 x 和 y，存在一个既是开集又是闭集的集合 U，使得 x ∈ U 且 y ∉ U。换句话说，该空间没有包含超过一个元素的连通子集。
一个拓扑群 G 是完全不连通的，如果其底层拓扑空间是完全不连通的。这意味着，对于 G 中的任意两个元素 g 和 h，存在一个包含 g 的开集 U，使得 U 也是闭集，并且 h 不在 U 中。
完全不连通群具有一些独特的性质。例如，其局部紧性与紧性的关系，取决于具体的群结构。此外，这类群的表示理论也与其他类型的群有所不同。
例子
一个典型的完全不连通群的例子是 p-进数群。对于一个素数 p，p-进数群 Qp配备有 p-进拓扑，它是一个局部紧完全不连通群。在这个拓扑中，整数的子集是开集，因此该群是完全不连通的。
另一个例子是离散群。任何配备离散拓扑的群都是完全不连通的。离散拓扑是最弱的拓扑，其中每个单点集都是开集。因此，对于离散群中的任何两个不同的元素，可以分别找到包含它们的开集，从而满足完全不连通的定义。
另外，某些有限群，例如有限循环群，也可能在其特定的拓扑结构下成为完全不连通群。
应用
完全不连通群在数学的不同领域中都有应用。它们在群论中用于研究群的结构和性质。它们也出现在泛函分析中，特别是在研究局部紧群的表示理论时。例如，彼得森紧化就是这类群的一个应用。
在拓扑学中，完全不连通群提供了重要的例子，可以用来测试和验证关于拓扑空间的各种理论。它们的结构也与几何学和数论有潜在的联系。
此外，完全不连通群在非阿贝尔调和分析中扮演着关键角色。研究这类群的表示理论可以帮助我们更好地理解更复杂的数学结构。
结论
完全不连通群是一类重要的拓扑群，它们具有独特的性质和广泛的应用。它们在群论、泛函分析和拓扑学中都有重要的意义。了解完全不连通群的性质可以帮助我们更好地理解更复杂的数学结构，并为解决相关问题提供有力的工具。