定义
一个群被称为局部有限群，如果它的每一个有限生成的子群都是有限的。 换句话说，对于群中的任意有限个元素，由这些元素生成的子群必须是有限的。 这种定义强调了局部有限群的“局部”性质，即它们的有限生成的子群是有限的。
重要性质
局部有限群具有一些重要的性质，使得它们在群论研究中备受关注：
- 有限生成的子群： 根据定义，局部有限群的每一个有限生成的子群都是有限群。
- 局部幂零性： 局部有限群通常具有良好的局部幂零性性质，这意味着它们有很多幂零子群。
- 子群的结构： 局部有限群的子群也常常具有某种特定的结构。例如，局部有限群的子群也是局部有限的。
例子
以下是一些局部有限群的例子：
- 有限群： 每一个有限群都是局部有限群，因为它的所有子群都是有限的。
- 周期群： 周期群，即所有元素的阶都有限的群，不一定是局部有限群。 但如果一个周期群是有限生成的，那么它就是局部有限群。
- 无限周期群： 存在无限周期群是局部有限群，例如，无限循环群的直和。
研究方法
局部有限群的研究通常涉及以下方法：
- 利用有限群的性质： 由于局部有限群的有限生成的子群是有限群，我们可以利用有限群的理论来研究局部有限群。
- 子群的分析： 通过分析局部有限群的子群结构，我们可以揭示整个群的结构。
- 群的扩张： 研究局部有限群的扩张，以及局部有限群如何作为其他群的子群出现。
结论
局部有限群是群论中一个重要的概念，它提供了一个桥梁，连接了有限群和更广泛的无限群。 通过研究局部有限群的结构和性质，我们可以更深入地理解群论，并且能够将有限群的理论推广到更广泛的应用领域。 局部有限群在许多数学分支中都有应用，包括组合群论和代数几何。