定义与基本概念
设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。如果对于 H 中的所有元素 h 和 G 中的所有元素 g，都有 gh = hg，那么 H 就是 G 的一个中心子群。更正式地说，一个子群 H 是中心子群，当且仅当 H ⊆ Z(G)，其中 Z(G) 表示群 G 的中心，定义为 {x ∈ G | ∀g ∈ G, xg = gx}。这意味着中心子群的每个元素都与整个群 G 中的每个元素可交换。
中心子群的特性
中心子群具有一些重要的性质。首先，中心子群总是正规子群。由于中心中的元素与所有元素交换，因此对于任何群 G 和其中心子群 H，以及任何 g ∈ G 和 h ∈ H，都有 ghg⁻¹ = h，这满足了正规子群的定义。其次，群的中心 Z(G) 本身就是一个中心子群，因为它包含了所有与群中所有元素可交换的元素。如果群的中心是平凡群（只包含单位元），则该群被称为无中心群。
中心子群的应用
中心子群的概念在研究群的结构中有着广泛的应用。例如，通过分析群的中心，可以了解群的“对称性”有多强。如果一个群的中心很大，这意味着群中存在很多元素与其他所有元素交换，那么这个群的结构就相对简单。另一方面，如果一个群的中心很小，或者只是平凡的，那么这个群的结构就可能非常复杂。
此外，中心子群也与群的分类密切相关。例如，阿贝尔群是其中心等于其自身的群，因为阿贝尔群的所有元素都相互交换。非阿贝尔群的中心提供了关于其非交换性程度的信息。了解群的中心可以帮助我们更好地理解群的直积、商群等构造。
实例
考虑一个例子，例如四元数群 Q₈ = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}，其中心是 {1, -1}。这说明四元数群的“对称性”并不太强，仅有两个元素与所有其他元素交换。另一个例子，循环群 Cₙ 的中心是其本身，因为循环群的所有元素都相互交换。因此，循环群的结构是最简单的。
结论
中心子群是群论中的一个重要概念，它有助于我们理解群的结构和性质。通过研究中心子群，可以了解到群中元素的“中心性”和它们之间的相互作用，这对于群的分类和研究具有重要意义。 中心子群为我们提供了一种分析群内部对称性和复杂性的重要工具。