定理内容
当一个分数an（其中 a 和 n 互质，且 n 是质数，并以 2 或 5 以外的质数为底）的循环节长度为偶数时，将循环节分成长度相等的两部分，两部分数字之和为由 9 组成的数。
详细解释
假设分数ap（a 和 p 互质）的循环小数部分有 2k 位。将这 2k 位数字分成两组，每组 k 位。例如，如果17=0.142857142857…，循环节是142857，长度为6。那么第一组是 142，第二组是 857。根据米迪定理，142 + 857 = 999。
这个定理也适用于循环节长度为 3k, 4k 等情况，可将循环节分成 3、4 等部分。如果将循环节分为三组，那么每组数字的和也具有一定的规律，通常是9的倍数。这个规律是米迪定理的一个重要扩展。
证明思路
米迪定理的证明涉及模运算和几何级数。核心思想是利用同余关系和循环小数的周期性。具体来说，需要证明的是，当循环节长度为 2k 时，可以将循环节表示成一个等比数列的和，从而推导出两组数字之和为 99…9。详细的证明过程需要用到数论的知识。
应用
米迪定理主要应用于分析分数的小数展开，特别是在数论和密码学领域。它可以用于研究循环小数的性质，以及设计一些基于循环小数的密码系统。理解米迪定理有助于我们更深入地理解小数的循环性。
结论
米迪定理是一个关于循环小数结构的优雅定理。它揭示了特定条件下循环小数的数字之间的有趣关系。虽然其应用相对有限，但它为数论的研究提供了一个有趣的视角，并促进了对循环小数更深入的理解。米迪定理展示了数学之美，即看似简单的规则，却能揭示复杂的模式。