定义和陈述
设A和B是n × n 厄米特矩阵，λ1(A) ≤ λ2(A) ≤ … ≤ λn(A) 是A的特征值，λ1(B) ≤ λ2(B) ≤ … ≤ λn(B) 是B的特征值。 设C = A + B，且λ1(C) ≤ λ2(C) ≤ … ≤ λn(C) 是C的特征值。 外尔不等式指出：
λj(A) + λ1(B) ≤ λj(C) ≤ λj(A) + λn(B), j = 1, 2, …, n
其中更精确的表述为：
λi(A) + λj(B) ≤ λi+j-1(A + B) ≤ λi(A) + λn-j+1(B)
证明概述
外尔不等式的证明通常涉及到使用瑞利-里兹定理，或者说，变分原理。 瑞利-里兹定理表明，一个厄米特矩阵的特征值可以通过其对应的瑞利商的极值来确定。 通过将矩阵A+B的瑞利商与A和B的瑞利商联系起来，可以证明外尔不等式。具体来说，证明通常分为以下几个步骤：
- 首先，根据瑞利-里兹定理，每个特征值都可以表示为一个最小化或最大化的问题。
- 其次，利用子空间的交集和并集的性质，将C的特征值与A和B的特征值联系起来。
- 最后，通过适当的代数运算，可以推导出外尔不等式的上界和下界。
证明的细节通常涉及线性代数中的子空间理论和特征值分解等概念。
应用
外尔不等式在许多领域都有广泛的应用：
- 谱理论：外尔不等式是谱理论中的一个基本工具，用于研究算子的谱的稳定性。 例如，它允许研究当算子受到小扰动时，其特征值如何变化。
- 量子力学：在量子力学中，外尔不等式可用于估计哈密顿算子特征值的变化，当势能受到扰动时。 这对于研究量子系统的稳定性至关重要。
- 数值线性代数：外尔不等式也应用于数值线性代数中，用于分析矩阵特征值计算的误差界限。 特征值在科学计算中非常重要，所以对它们进行准确的估计就很有必要。
- 矩阵理论：在矩阵理论中，外尔不等式被用来研究矩阵范数与特征值之间的关系，尤其是在分析矩阵的奇异值时。
结论
外尔不等式是线性代数中一个重要的理论结果，它提供了对厄米特矩阵特征值对扰动的敏感性的定量描述。 它的简洁性和广泛的适用性使其成为研究谱理论、量子力学和数值计算的关键工具。通过提供特征值变化的上界和下界，外尔不等式有助于理解和预测各种物理和数学系统中的行为。