基本概念
拟双代数是代数结构，它在保持双代数的大部分结构的同时，放松了某些条件。与双代数类似，拟双代数包括一个代数结构和一个余代数结构，并且它们之间相互兼容。然而，拟双代数不要求余结合律严格成立，而是在结合子的意义下满足余结合律。这使得拟双代数能够描述一些更为复杂的代数结构，例如，源自量子群的结构。
具体来说，一个拟双代数由以下元素构成：一个代数 $A$，一个余代数结构 $(\Delta, \epsilon)$，一个单位元 $1$，一个余单位元 $\epsilon: A \rightarrow k$（其中 $k$ 为域）。此外，拟双代数还包括一个叫做结合子的同构 $\Phi: A \otimes A \otimes A \rightarrow A$，它度量了余结合律的偏离程度。此结合子 $\Phi$ 必须满足某些相容性条件。
与双代数的区别
双代数的核心性质是结合性和余结合性。 结合性是指代数运算满足 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$，而余结合性是指余代数结构满足 $(\Delta \otimes id) \circ \Delta = (id \otimes \Delta) \circ \Delta$。在拟双代数中，结合性仍然成立，但余结合律被弱化。 确切地说，余结合性被结合子 $\Phi$ 修正：
$$(\Delta \otimes id) \circ \Delta (a) = \Phi_{1,2,3} ((id \otimes \Delta) \circ \Delta (a))$$
其中，$\Phi$ 度量了余结合律的偏离程度。
这种对余结合性的放宽是拟双代数与双代数最主要的区别。这种改变允许拟双代数处理某些在双代数框架下无法描述的代数结构。这种灵活性是拟双代数在量子群理论中如此重要的原因。
重要性与应用
拟双代数在数学和物理学中具有重要的应用，尤其是在量子群的研究中。由于量子群本身通常不满足严格的余结合律，因此拟双代数提供了一个更合适的框架来研究它们。拟双代数的概念为研究量子群的表示理论和构造提供了新的方法。
一个关键的应用领域是表示理论。拟双代数允许人们定义和研究拟双代数的表示，这些表示与量子群的表示密切相关。这使得我们能够将群论的工具和思想推广到量子群的研究中。
拟双代数还与其他数学领域相关，例如范畴论和纽结理论。例如，它们可以用于构造与纽结相关的代数不变量。
结论
拟双代数是双代数的推广，它通过引入结合子来放松余结合律的条件。这种结构在量子群理论中扮演着重要的角色，并为研究量子群的表示理论和结构提供了新的视角。 拟双代数已成为数学和物理学领域的重要研究对象，并与其他数学分支（如范畴论和纽结理论）有所关联。