初等嵌入
首先，我们需要理解什么是初等嵌入。简单来说，一个初等嵌入 j 是一个保持集合论中所有基本真理的函数。具体来说，如果 φ 是一个包含集合论语言的公式，并且 x₁, x₂, …, xₙ 是集合，则有 φ(x₁, x₂, …, xₙ) 为真，当且仅当 φ(j(x₁), j(x₂), …, j(xₙ)) 为真。初等嵌入可以被视为保持了集合的“结构”的函数。
传递类
传递类是指一个集合，如果一个集合属于该集合，那么该集合的所有元素也属于该集合。例如，序数是传递的，且von Neumann宇宙的每一个阶段 Vα 都是传递的。初等嵌入通常定义在传递类之间，因为它们能够更好地保持集合的内部结构。
关键点的性质
关键点 κ 有一些重要的性质。首先，关键点一定是不可达基数。这是因为如果 κ 是一个小于关键点的序数，那么根据关键点的定义，j(κ) = κ。然而，如果 κ 是可达的，这意味着存在一个比它小的序数 α，使得 κ = Vα。由于初等嵌入保持集合的结构，这意味着 j(κ) = j(Vα) = Vj(α)。如果 α 是小于 κ 的一个序数，那么 j(α) 也应该小于 κ，这与关键点定义相矛盾。因此，关键点一定是不可达的。
其次，关键点也必须是一个弱紧基数或更大基数。这是由于初等嵌入保持结构，使得关键点表现出“大基数”的特性。对于更强的性质，例如关键点可以是超紧基数，取决于初等嵌入的具体定义和所研究的集合论模型。
关键点与大基数公理
关键点在研究大基数公理时扮演着核心角色。例如，对于一个具有关键点 κ 的非平凡初等嵌入 j，我们可以通过考察集合 Vκ 和 j(Vκ) 之间的关系，来研究某些大基数公理的相容性。初等嵌入提供了在不同的集合论模型之间进行“桥接”的工具，从而帮助我们理解大基数公理的逻辑后果。对于一个给定的关键点，我们可以使用初等嵌入来构造更高级的基数，从而建立一个基数层次结构。
应用与研究
关键点的概念广泛应用于数学逻辑、集合论和模型论。例如，在研究集合论的独立性证明时，关键点提供了重要的工具。此外，关键点的研究也促进了对集合论模型的深入理解，并为探索新的大基数公理提供了基础。这些研究不仅推动了数学领域的发展，也加深了对数学基础的认识。
结论
关键点是集合论中一个重要的概念，它帮助我们理解初等嵌入以及大基数之间的关系。关键点一定是不可达基数，并具有一些特殊性质，这使得它在研究大基数公理的相容性时非常有用。 对关键点的研究是集合论研究的重要组成部分，并不断推动着我们对数学基础的认识。
参考资料
- Kunen, K. (1980). Set theory: An introduction to independence proofs.
- Jech, T. (2003). Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded.
- Drake, F. R. (1974). Set theory: An introduction to large cardinals.
- Kanamori, A. (2009). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.).