定义
埃尔米特恒等式阐述了对于任意实数 x 和正整数 n，以下等式成立：
\[
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor
\]
其中 \(\lfloor x \rfloor\) 表示 x 的向下取整函数，即不大于 x 的最大整数。
证明
我们可以用不同的方法证明埃尔米特恒等式。以下提供一种常见的证明方法：
首先，设 \(x = m + r\)，其中 m 是一个整数，\(0 \le r < 1\)。那么 \(\lfloor nx \rfloor = \lfloor n(m+r) \rfloor = nm + \lfloor nr \rfloor\)。
考虑和式中的每一项 \(\left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \left\lfloor m + r + \frac{k}{n} \right\rfloor\)。 由于 m 是整数，所以 \(\left\lfloor m + r + \frac{k}{n} \right\rfloor = m + \left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor\)。
因此，
\[
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \sum_{k=0}^{n-1} \left( m + \left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor \right) = nm + \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor
\]
由于 \(0 \le r < 1\)，考虑集合 \(\left\{ r + \frac{k}{n} \right\}_{k=0}^{n-1}\)。我们有以下两种情况：
- 如果 \(0 \le r < 1 – \frac{n-1}{n}\)，那么对于所有 k，都有 \(r + \frac{k}{n} < 1\)，所以 \(\left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor = 0\)。
- 如果 \(1 – \frac{j}{n} \le r < 1 – \frac{j-1}{n}\)，其中 \(1 \le j \le n\)，那么对于 \(k < j\) ，有 \(\left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor = 0\)，而对于 \(k \ge j\) ，有 \(\left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor = 1\)。
这意味着 \(\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor r + \frac{k}{n} \right\rfloor = \lfloor nr \rfloor\)。 因此，\(\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = nm + \lfloor nr \rfloor = \lfloor nx \rfloor\)。
应用
埃尔米特恒等式在数论和组合数学中有很多应用。 例如，它可以用于：
- 简化涉及向下取整函数的表达式。
- 证明涉及分数部分的恒等式。
- 分析算法的复杂度，特别是涉及除法的算法。
- 与其他恒等式结合使用，解决更复杂的问题。
该恒等式也与计算调和级数、素数分布以及其他数论问题的研究有关。
结论
埃尔米特恒等式提供了一个简洁而优雅的方式来处理向下取整函数的求和，它在许多数学领域中都发挥着重要的作用。它不仅是一种数学工具，更是一种思维方式，帮助我们更好地理解和处理与整数相关的数学问题。