背景和基本概念
流形是局部类似于欧几里得空间的拓扑空间。例如，二维球面是二维流形，因为它在每个点附近都看起来像一个平面。微分流形是一个具有平滑结构的流形，这意味着可以在其上定义导数。同胚是连续的双射，其逆也是连续的，它保持了拓扑结构。微分同胚是可微的双射，其逆也是可微的，它保持了微分结构。 米尔诺球的出现，挑战了人们对于流形的固有属性的理解。
米尔诺的贡献
米尔诺发现存在一些 7 维流形，它们在拓扑上与 7 维球同胚，但没有与其微分同胚。这意味着虽然这些流形在形状上看起来像一个球，但它们在其“平滑度”上与标准球有所不同。 这些非标准微分结构被称为“奇异球”或“异球”。米尔诺的发现颠覆了当时人们对光滑流形同胚等价于微分同胚的直观认知。 他在 1956 年的研究中证明了这一点，为拓扑学带来了新的视角。
重要性
米尔诺的工作对微分拓扑学和代数拓扑学产生了深远的影响。 它开启了对流形微分结构的研究，并导致了对奇异球进行分类。他的研究也促使数学家们开发了新的工具和技术，以理解和区分不同的微分结构。这项工作对后续的很多研究奠定了基础，比如对高维流形的分类。
应用
米尔诺球的发现主要发生在纯数学领域，特别是拓扑学。尽管如此，它对其他领域也产生了影响。例如，它与物理学中对规范场的研究有关，特别是与可能存在的某些场配置有关。其根本意义在于促使数学家们重新审视和深化对数学结构和属性的理解，并对不同领域的研究起到了推动作用。
结论
米尔诺球是拓扑学中一个重要的发现，它揭示了在拓扑上等价但微分结构不同的流形的存在性。 这一发现挑战了人们对流形的基本理解，并推动了微分拓扑学的发展。 米尔诺的工作为后续研究提供了重要的基础，并对其他数学和物理领域产生了影响。