基本概念
上下文无关文法（CFG）用于生成上下文无关语言。奥格登引理的关键思想是，对于任何上下文无关语言，我们都可以找到一个“泵浦长度”p。如果一个字符串 z 属于该语言，且 z 的长度大于或等于 p，则可以将其分解成五个子串，即 z = uvwxy。奥格登引理与泵浦引理的不同之处在于，它对分解中的一些条件进行了约束，使得对子串的选择更为灵活。
引理内容
奥格登引理的内容可以概括如下：
对于任何上下文无关语言 L，存在一个常数 p ≥ 1（泵浦长度），使得对于 L 中的任何字符串 z，如果 z 的长度大于或等于 p，并且 z 中存在至少 p 个被标记的字符，那么可以将 z 分解为 z = uvwxy，满足以下条件：
- |vwx| ≤ p（泵浦部分的总长度不超过 p）
- |vx| ≥ 1（可泵浦部分至少包含一个字符）
- 对于所有 i ≥ 0，uviwxiy 仍然属于 L (可泵浦)
- v 和 x 中包含的被标记字符的总数至少为1。
这里的“标记”指的是在字符串 z 中选择的特定字符。这种选择的灵活性使得奥格登引理比泵浦引理更加强大。通过巧妙地选择标记字符，我们可以更有效地证明某些语言不是上下文无关语言。
应用
奥格登引理主要用于证明某些语言不是上下文无关语言。其步骤通常如下：
- 假设待证语言 L 是上下文无关语言。
- 选择一个字符串 z ∈ L，其长度足够长，且包含足够数量的标记字符。
- 尝试根据奥格登引理将 z 分解为 uvwxy。
- 证明对于某些 i ≥ 0，uviwxiy 不属于 L。这与我们假设 L 是上下文无关语言相矛盾。
- 得出结论，L 不是上下文无关语言。
奥格登引理常用于证明一些看似简单的语言不是上下文无关语言，比如含有特定子串数量限制的语言。
与泵浦引理的比较
泵浦引理是奥格登引理的一个特例。当所有字符都被标记时，奥格登引理就退化为泵浦引理。与泵浦引理相比，奥格登引理的主要优势在于，我们可以自由选择标记字符，这使得我们可以更精确地控制被泵浦的部分。这在处理具有特定子串结构或对子串有要求的语言时特别有用。因此，奥格登引理通常能解决泵浦引理无法解决的问题，提高了否定性结果证明的效率。
结论
奥格登引理是形式语言理论中一个重要的工具，用于证明某些语言不是上下文无关语言。它通过对泵浦引理的推广，提供了更灵活的条件和更强大的分析能力。掌握奥格登引理及其应用，对于理解形式语言的性质，以及构建和分析计算机程序至关重要。