定义
设 V 是一个有限维实向量空间，配备一个非退化的二次形式 Q。正交群 O(Q) 定义为保持 Q 不变的线性变换群。射影正交群 PO(Q) (或简写为 PO) 定义为 O(Q) 对其中心 ±I 的商，其中 I 是恒等变换。换句话说，PO(Q) 考虑的是在“差一个符号”意义下保持 Q 不变的变换。
基本性质
射影正交群具有许多重要的性质。它继承了正交群的一些结构，但又有所不同。例如，PO(Q) 通常不是连通的，它可能包含多个连通分支。PO(Q) 的结构取决于二次形式 Q 的性质，特别是它的秩和符号。在许多应用中，PO(Q) 被用来研究几何结构的对称性，特别是那些由二次形式定义的几何结构。
与正交群的关系
射影正交群是正交群的“射影化”版本。这意味着，PO(Q) 考虑的是正交变换在射影空间中的作用。这种观点在几何学中非常重要，因为它允许研究在投影下不变的性质。例如，在考虑射影空间中的圆锥曲线时，PO(Q) 可以帮助我们理解这些曲线的对称性。此外，PO(Q) 也与李群理论密切相关，因为它是一个李群，并且可以用于分析流形上的对称性。
应用
射影正交群在许多领域都有应用。在物理学中，它与量子力学和规范场论有关。在计算机图形学中，PO(Q) 用于处理三维几何变换和场景的渲染。此外，PO(Q) 在其他涉及对称性分析的领域，如图像处理和模式识别中，也扮演着重要的角色。通过研究 PO(Q)，可以更深入地理解不同几何结构的对称性质，并利用这些性质进行相关的计算和分析。
结论
射影正交群是线性代数和几何学中一个重要的概念，它提供了研究二次形式对称性的有力工具。它在数学、物理学和计算机科学等领域都有广泛的应用。理解射影正交群的性质和结构，有助于我们更好地理解各种几何结构，并进行相关的计算和分析。